На рисунке точка d - середина стороны bc треугольника abc. dp перпендикулярно ab, df перпендикулярно ac, dp=df. докажите что треугольник abc равнобедренный

Рассмотрим треугольники РВД и ДСФ:
они равны по трем сторонам.
Т.к ДР перпендикулярно АВ, и ДФ перпендикулярно АС, то углы ДРА и ДФА равны 90 градусам и РД = ДФ, следовательно АРДФ квадрат. 
Т.к. ВР = СФ и РА = АФ, то АВ = ВР + РА и АС = АФ + ФС из этих равенств следует что АВ = АС. 
Ч.Т.Д.