Докажите что в прямоугольном треугольнике с катетами a и b и с гипотенузой c a^3+b^3

Пусть a^3 + b^3 >= c^3.

Возведём неравенство в квадрат:
a^6 + b^6 + 2a^3 b^3 >= c^6

Так как (x + y)^3 = x^3 + y^3 + 3xy(x + y), то
(a^2 + b^2)^3 + 2a^3 b^3 - 3a^2 b^2(a^2 + b^2) >= c^6

Теорема Пифагора: a^2 + b^2 = c^2

с^6 + 2a^3 b^3 - 3a^2 b^2 c^2 >= c^6
2ab - 3(a^2 + b^2) >= 0
3a^2 - 2ab + 3b^2 <=0
(a^2 - 2ab + b^2) + 2a^2 + 2b^2 <=0
(a - b)^2 + 2a^2 + 2b^2 <=0

Из последнего неравенство следует, что a = b = 0, чего быть не может. Противоречие.