Через точку c, лежащую вне окружности с центром , проведены две секущие к этой окружности. одна из них пересекает окружность в точках a и b (b лежит между а и с ), а вторая проходит через точку о и пересекает окружность в точках p и q (q между с и p ). найдите угол acр, если oap равен 72 градусам, а отрезок bc равен радиусу окружности.

Пусть искомый угол ACP = α; 
Треугольник CBO равнобедренный, поэтому угол BOC = α; отсюда угол CAQ = α/2; поэтому, как внешний угол треугольника CAQ, угол AQP = 3α/2; это вписанный угол, опирающийся на дугу AP.
Центральный угол, опирающийся на ту же дугу AP - это угол AOP, поэтому он равен 3α;
Треугольник AOP - равнобедренный, то есть угол OPA = угол OAP = 72° (по условию); откуда угол AOP = 36°; 
3α = 36°;
α = 12°;