Найдите площадь треугольника, если известно, что - вопрос №2161342 от Bulmeshka 04.12.2021 21:17

Question

Геометрия: Найдите площадь треугольника, если известно, что радиус вписанной окружности равен 1, а длины всех трех высот выражаются целыми числами.

Bulmeshka · Answer

Из условия следует что треугольник правильный !
Доказательство :
так как площадь треугольника можно выразить через высоты как
$S=\frac{ah}{2}\\
S=\frac{bh}{2}\\
S=\frac{ch}{2}$
где a;b;c

стороны треугольника , с другой стороны
$S=p*r\\
r=1\\
S=p$ следовательно
$\frac{ah}{2}=\frac{a+b+c}{2}\\
\frac{bh}{2}=\frac{a+b+c}{2}\\
\frac{ch}{2}=\frac{a+b+c}{2}\\
a=b=c$
а площадь правильного треугольника равна
$S=3\sqrt{3}r^2\\
S=3\sqrt{3}$