В выпуклом четырехугольнике ABCD известно, что ∠BCD = ∠CDA ⩾ 90◦ . Биссектрисы углов A и B пересекаются в точке M на стороне CD. Докажите, что M — середина CD.

Доказали, что точка М - середина CD.

Объяснение:

В выпуклом четырехугольнике ABCD известно, что ∠BCD = ∠CDA ⩾ 90◦. Биссектрисы углов A и B пересекаются в точке M на стороне CD. Докажите, что M — середина CD.

Дано: АВСD - выпуклый четырехугольник;

∠BCD = ∠CDA ⩾ 90◦;

ВМ и АМ - биссектрисы ∠В и ∠А соответственно;

М ∈ CD;

Доказать: М - середина CD.

Доказательство:

Продолжим стороны ВС и АD до пересечения. Поставим точку К.

Соединим К и М.

1. Рассмотрим ΔАВК.

ВМ и АМ - биссектрисы ∠В и ∠А соответственно. (условие)

Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке.

⇒ КМ - биссектриса ∠К.

2. Рассмотрим ΔDCK.

Сумма смежных углов равна 180°.

⇒ ∠DCK = 180° - ∠BCD

   ∠CDK = 180° - ∠CDA

   ∠BCD = ∠CDA (условие)

⇒  ∠DCK = ∠CDK

Если в треугольнике два равных угла, то этот треугольник равнобедренный.

⇒ ΔDCK - равнобедренный.

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой.

⇒ СМ = MD.

Доказали, что точка М - середина CD.