Чертишь треугольник и вписываешь в него окружность. Соединяя центр последнего с точками касания, делишь треугольник на три части. Берёшь любой из этих частей и делишь наполовину по линии симметрии. Получаешь прямоугольный треугольник, в котором угол при точке О обозначишь через а. Внутри этого треугольника остаётся дуга окружности. Задача сводится к сравнению длины этой дуги с длиной катета, лежащей против угла а. Первая есть Ra, вторая Rtgа. Остаётся доказать, что tga > a...
Мне объясняли так, что вот допустим треугольник АВС. Точки, с которых окр касается сторон треугольника назовем, например, на стороне АВ точка К, на стороне ВС точка Р, на стороне АС точка Н. Ну и теперь чтобы продвинуться от точки К к точки Н, по друге КН пройдем быстрее, чем по сторонам КА и АН, то есть КА+АН больше дуги КН. ну и так с остальными. НС+СР больше дуги НР. и РВ+КВ больше дуги КВ. И когда сложим и части окр и все части треугольника, получим, то дуга окр меньше периметра треугольника
