3.15. В треугольнике ABC углы АиС равны 45 и 30" co- ответственно, а высота AD = 3 м. Найдите стороны треугольника.

Дано:

∠A=45° , ∠C=30° . AD ⊥ BC , AD = 3 м

AB, BC, AC - ?

Из ΔADC(∠ADC=90°) , катет, который лежит против угла 30° равен половине гипотенузы. AC=2AD=2*3=6м

Сумма углов треугольника = 180° . ∠B=180°-(45°+30)°=105°

\begin{gathered}sin105^{\circ}=sin(135^{\circ}-30^{\circ})=sin135^{\circ}cos30^{\circ}-cos135^{\circ}sin30^{\circ}==\frac{\sqrt{2}}{2}*\frac{\sqrt{3} }{2}+\frac{\sqrt{2} }{2}*\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6} }{4}+\frac{\sqrt{2} }{4}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\end{gathered}

sin105

∘

=sin(135

∘

−30

∘

)=sin135

∘

cos30

∘

−cos135

∘

sin30

∘

=

=

2

2

∗

2

3

+

2

2

∗

2

1

=

4

6

+

4

2

=

4

6

+

2

По теореме синусов найдём BC :

\begin{gathered}\frac{BC}{sin45^{\circ}}=\frac{AC}{sin105^{\circ}}frac{BC}{\frac{\sqrt{2} }{2} }=\frac{6}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}BC\sqrt{2}=\frac{24}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}BC\sqrt{2}=6(\sqrt{6}-\sqrt{2})BC=\frac{6\sqrt{6}-6\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=6\sqrt{3}-6\end{gathered}

sin45

∘

BC

=

sin105

∘

AC

2

2

BC

=

4

6

+

2

6

BC

2

=

6

+

2

24

BC

2

=6(

6

−

2

)

BC=

2

6

6

−6

2

=6

3

−6

Найдём AB:

\begin{gathered}\frac{AB}{sin30^{\circ}}=\frac{BC}{sin45^{\circ}}frac{AB}{\frac{1}{2} }=\frac{6\sqrt{3}-6 }{\frac{\sqrt{2} }{2} }2AB=\frac{12\sqrt{3}-12 }{\sqrt{2} }2AB=\frac{2\sqrt{2}(6\sqrt{3}-6)}{2}2AB=6\sqrt{6}-6\sqrt{2}AB=3\sqrt{6}-3\sqrt{2}\end{gathered}

sin30

∘

AB

=

sin45

∘

BC

2

1

AB

=

2

2

6

3

−6

2AB=

2

12

3

−12

2AB=

2

2

2

(6

3

−6)

2AB=6

6

−6

2

AB=3

6

−3

2

ответ: AC = 6м , AB = 3\sqrt{6}-3\sqrt{2}3

6

−3

2

м , BC = 6\sqrt{3}-66

3

−6 м