AK, BM, CP – высоты равнобедренного треугольника ABC. Площадь треугольника KPM равна 12, cos ∠ABC = 0,6. Найдите площадь треугольника ABC.

cos(ABC)>0 => △ABC - остроугольный

Отрезок AC виден из точек P и K под прямым углом

=> APKC - вписанный => ∠BPK=∠BCA => PK антипараллельна AC

Аналогично KM и MP.

(Доказали: стороны остроугольного треугольника антипараллельны сторонам ортотреугольника.)

=> △ABC~△KBP~△AMP~△KMC

cos(ABC) =BP/BC =6/10 =3/5

BP=3x, BC=5x, AP=2x

CP=√(BC^2-BP^2)=4x

AC=√(AP^2+CP^2)=√(4+16)x =2√5x

BM - высота и медиана, AM=AC/2=√5x

Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия.

S(KBP)/S(ABC) =(BP/AB)^2 =(3/5)^2 =9/25

S(AMP)/S(ABC) =(AM/AB)^2 =(√5/5)^2 =5/25

Понятно, что △AMP=△KMC

S(KMP) =S(ABC)-S(KBP)-2(AMP) =(25-9-10)/25 S(ABC) =6/25 S(ABC) =12

=> S(ABC) =12*25/6 =50