Впрямоугольном треугольнике высота и медиана выходящие из прямого угла и относятся соответственно как 40 : 41. найти отношение катетов этого треугольника.

Высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу,  делит прямоугольный треугольник на подобные треугольники.  
 Гипотенуза прямоугольного треугольника равна длине двух его медиан.  
Пусть коэффициент данного по условию отношения высоты и медианы будет 1. 
Тогда высота равна 40, медиана 41, гипотенуза 2*41=82  
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой. 
Примем отрезок АН гипотенузы  за х, НВ тогда 82-х  
Квадрат высоты равен произведению отрезков АН и НВ  
СН²=АН*НВ 
1600=х(82-х) 
х²-82х+1600=0
Решив квадратное уравнение, найдем два значения х=50 и х=32.
 АН, как более короткий отрезок, равен 32, 
НВ=50  
Треугольники АНС, СНВ и АВС подобны .
И отношение их катетов одинаково. 
Найдем отношение известных катетов в треугольниках АНС и СНВ.  АН:СН=СН:НВ=4:5 
АС:СВ=4/5
------------------------------
Но всегда простое решение - лучше сложного.
Вариант решения:
Основа решения:
 Гипотенуза прямоугольного треугольника равна длине двух его медиан. 
Между медианой и высотой образовался прямоугольный треугольник с гипотенузой СМ=41 и катетом СН=40.
По т.Пифагора отрезок гипотенузы НМ=9.
И тогда катет АН треугольника АНС относится к соответственному катету СН подобного ему треугольника СНВ как АН:НС=32:40=4/5
--------------
И вариант третий -  если знать, что в треугольнике с гипотенузой 41, и катетом 40 второй катет равен 9 ( одна из троек Пифагора)- позволяет обойтись самым минимумом вычислений.