91 Теорема. Если при пересече-
нии двух прямых секущей накрест
лежащие углы,
прямые
Дано: прямые аиьи их секу-
щая AB, углы 1 и 2 накрест лежа-
щие, 21 22 (рисунок а).
Доказать: a | ь.
Доказательство. Если углы
1 и 2 прямые, то аl AB, b1 АВ,
поэтому а ь. Рассмотрим случай,
когда углы 1 и 2 не прямые. На
рисунке б точка 0 — середина от-
резка AB, он Ia, ВН,- AН.
1) ДОНА – Дон в по
а
н
1 5
3
0
6 2
н.
(0
6)
поэтому 23-24 и 25-26.
2) Из равенства углов 3 и 4 следует, что точка н, лежит на
продолжении луча он, т. е. точки н, Оин, лежат
3) Из равенства углов 5 и 6 следует, что 26 =—, т. е.
Hн,— ь.
4) Итак, прямые а и ъ
к прямой
поэтому они
Теорема доказана.

Данная задача объясняет теорему о накрест лежащих углах, а именно: если две прямые пересекаются, и накрест лежащие углы (углы 1 и 2 на рисунке) равны, то эти прямые параллельны.

Для доказательства этой теоремы проведем следующие шаги:

1) Рассмотрим случай, когда углы 1 и 2 являются прямыми углами. В этом случае, если прямая AB пересекает две параллельные прямые (а и b), углы 1 и 2 будут накрест лежащими, и, следовательно, прямые а и b будут параллельными. Это является очевидным, и не требует дополнительного доказательства.

2) Рассмотрим случай, когда углы 1 и 2 не являются прямыми. Проведем серединный перпендикуляр к отрезку AB (проходящий через точку O на рисунке), и обозначим его как он. Заметим следующие факты:
- Углы 3 и 4 равны (они соответствующие углы двух параллельных прямых)
- Точка H, лежит на продолжении луча он (это следует из равенства углов 3 и 4).
- Углы 5 и 6 равны (они вертикальные углы)

3) Из равенства углов 5 и 6, следует, что углы Hн и ь равны.

4) Следовательно, прямые аиь параллельны друг другу.

Таким образом, теорема доказана.