Доказательство теоремы о параллельных прямых

Признаки параллельности прямых.

1. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
Доказательство:
Пусть О - середина отрезка АВ. Проведем ОН⊥b и продлим его до пересечения с прямой а.
ΔОАК = ΔОВН по стороне и двум прилежащим к ней углам (АО = ОВ, так как О - середина АВ, углы при вершине О равны как вертикальные, ∠ОАК = ∠ОВН по условию - накрест лежащие), значит
∠ОАК = ∠ОВН = 90°.
Два перпендикуляра к одной прямой параллельны, значит
а║b.

2. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
Доказательство:
∠1 = ∠2 по условию - соответственные,
∠1 = ∠3 как вертикальные, значит
∠2 = ∠3. А эти углы - накрест лежащие. Значит, прямые параллельны по первому признаку.

3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов 180°, то прямые параллельны.
Доказательство:
∠1  + ∠2 = 180° по условию - односторонние углы.
∠2 + ∠3 = 180° так как эти углы смежные, следовательно
∠1 = ∠3.
А эти углы - накрест лежащие. Значит, прямые параллельны по первому признаку.