axssis00

31.03.2022 03:35 •  Геометрия

39. ОКРУЖНОСТЬ, ОПИСАННАЯ Около ТРЕУГОЛЬНИКА
Окружность называется описанной около треугольника, если
она проходит через все его вершины.
Теорема 5.1. Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения перпендикуляров к
сторонам треугольника, проведенных через середины этих
сторон.
Доказательство. Пусть ABC — данный треугольник
и 0 — центр описанной около него окружности (рис. 93).
Треугольник AOC равнобедренный: у него стороны 0A и ОС
6. Геометрические построения
67
равны как радиусы. Медиана ор этого треугольника одновре-
менно является его высотой. Поэтому центр окружности лет. Ит
на прямой, перпендикулярной стороне AC и проходящей через
ее середину. Точно так же доказывается, что центр окружности
лежит на перпендикулярах к двум другим сторонам треугол
ника. Теорема доказана.
Замечание. Прямую, проходящую через середину отред-
ка перпендикулярно к нему, часто называют серединным пер-
пендикуляром, в связи с этим иногда говорят, что центр
окружности, описанной около треугольника, лежит на пере-
сечении серединных перпендикуляров к сторонам треуголь
Ника.
B
0
A
B
E
C
Рис. 93
Рис. 94
Задача (6). Докажите, что серединные перпенди-
куляры к двум сторонам треугольника пересекаются.
Решение. Пусть АВС треугольник и a, b сере-
динные перпендикуляры к его сторонам AC и BC (рис. 94).
Допустим, прямые а и ь не пересекаются, а значит,
параллельны. Прямая АС перпендикулярна прямой а.
Прямая ВС перпендикулярна прямой b, а значит, и прямой
а, так как прямые аиь параллельны. Таким образом,
обе прямые AC и BC перпендикулярны прямой а, а значит,
параллельны. Но это неверно. Прямые AC и BC пересека-
ются в точке С. Мы пришли к противоречию. Утверждение
доказано.​