В треугольнике ABC точки A1, B1, C1 - основания высот AA1, BB1 и CC1. Точка M симметрична точке A1 относительно стороны AB, а точка K симметрична этой же точке A1 относительно AC. Доказать, что M, C1, B1 и K лежат на одной прямой. Замечания к условию. 1) насколько я смог проверить, это работает в любом треугольнике, но достаточно доказать для остроугольного. 2) точка K "перегружает" условие - достаточно доказать, что M лежит на B1C1.
Отрезок, соединяющий основания высот, отсекает подобный треугольник.
△AB1C1 ~ △ABC ~ △A1BC1 => ∠AC1B1 =∠C =∠A1C1B
∠MC1B =∠A1C1B (симметрия)
Тогда ∠MC1B =∠AC1B1, получаем вертикальные углы - лучи C1M и C1B1 составляют прямую.