Рассмотрим плоскость (AST). Заметим, что BC⊥(AST), так как BC⊥SO и BC⊥AT и SO∩AT=O. Тогда BC перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Опустим теперь перпендикуляр AH из точки A на ST в плоскости (AST). Получим, что AH⊥ST и AH⊥BC и ST∩BC=T. Тогда AH⊥(BSC), т.е. является искомым расстоянием. Найдем теперь AH. Приравняв площади треугольника, получим, что . Понятно, что AT ищем по теореме Пифагора для треугольника ATC: AT²=AC²-TC², => AT=4√3. ST ищем по той же теореме Пифагора, но для треугольника STC: ST²=SC²-TC² => ST=2√21. Перед тем, как искать SO, вспомним, что медианы точкой пересечения делятся 2:1, считая от вершины. Тогда OT=4/√3 => SO=2√177/3 (опять-таки по теореме Пифагора для треугольника OST). Значит . Приведем теперь ответ к требуемому виду: .
(см. объяснение)
Объяснение:
Рассмотрим плоскость (AST). Заметим, что BC⊥(AST), так как BC⊥SO и BC⊥AT и SO∩AT=O. Тогда BC перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Опустим теперь перпендикуляр AH из точки A на ST в плоскости (AST). Получим, что AH⊥ST и AH⊥BC и ST∩BC=T. Тогда AH⊥(BSC), т.е. является искомым расстоянием. Найдем теперь AH. Приравняв площади треугольника, получим, что
. Понятно, что AT ищем по теореме Пифагора для треугольника ATC: AT²=AC²-TC², => AT=4√3. ST ищем по той же теореме Пифагора, но для треугольника STC: ST²=SC²-TC² => ST=2√21. Перед тем, как искать SO, вспомним, что медианы точкой пересечения делятся 2:1, считая от вершины. Тогда OT=4/√3 => SO=2√177/3 (опять-таки по теореме Пифагора для треугольника OST). Значит 
. Приведем теперь ответ к требуемому виду: 
.
Задание выполнено!