Вправильной усеченной четырехугольной пирамиде площадь верхнего основания равна 50 , а площадь нижнего основания 200. какова поверхность сферы , вписанной в эту пирамиду ?
Чтобы ответить на вопрос задачи следует найти радиус сферы. Он равен радиусу окружности, вписанной в осевое сечение пирамиды, стороны которого параллелльны сторонам оснований пирамиды. Это сечение - равнобедренная трапеция. Сделаем рисунок.
Вспомним, что в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин противолежащих сторон равны. Следовательно, сумма апофем ( боковых сторон АВ и СД трапеции АВСД) равна сумме сторон оснований пирамиды ( оснований АД и ВС трапеции) Основания правильной четырехугольной усеченной пирамиды - квадраты.
На рисунке 1 Площадь меньшего основания S₁ =50 ВС равна всем сторонам верхнего основания ВС²=50 ВС=√25*2=5√2 Площадь большего основания S₂=200 АД равна всем сторонам нижнего основания. АД²=200 АД=√100*2=10√2
Рассмотрим рисунок 2 АВ+СД= ВС+АД=5√2+10√2=15√2 СД= 15√2:2=7,5√2 Радиус вписанной в трапецию окружности равен половине ее высоты ( соответственно радиус вписанной в усеченную пирамиду сферы равен половине высоты пирамиды). Расстояние НД = полуразности оснований и равно (АД-ВС):2 НД=(10√2-5√2):2=2,5√2 СН²=СД²-НД²=112,5-12,5=100 СН=10 r=10:2=5 Формула площади сферы S=4πr² S=4π25=100π
а=5sqrt(2)
b=10sqrt(2)
a+b=15sqrt(2)
h^2=15^2/2-5^2/2=200/2=100
h=10=D
r=5
S=4Пr^2=100П
Решение и объяснение.
Чтобы ответить на вопрос задачи следует найти радиус сферы.
Он равен радиусу окружности, вписанной в осевое сечение пирамиды, стороны которого параллелльны сторонам оснований пирамиды.
Это сечение - равнобедренная трапеция.
Сделаем рисунок.
Вспомним, что в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин противолежащих сторон равны.
Следовательно, сумма апофем ( боковых сторон АВ и СД трапеции АВСД) равна сумме сторон оснований пирамиды ( оснований АД и ВС трапеции)
Основания правильной четырехугольной усеченной пирамиды - квадраты.
На рисунке 1
Площадь меньшего основания S₁ =50
ВС равна всем сторонам верхнего основания
ВС²=50
ВС=√25*2=5√2
Площадь большего основания
S₂=200
АД равна всем сторонам нижнего основания.
АД²=200
АД=√100*2=10√2
Рассмотрим рисунок 2
АВ+СД= ВС+АД=5√2+10√2=15√2
СД= 15√2:2=7,5√2
Радиус вписанной в трапецию окружности равен половине ее высоты ( соответственно радиус вписанной в усеченную пирамиду сферы равен половине высоты пирамиды).
Расстояние НД = полуразности оснований и равно (АД-ВС):2
НД=(10√2-5√2):2=2,5√2
СН²=СД²-НД²=112,5-12,5=100
СН=10
r=10:2=5
Формула площади сферы
S=4πr²
S=4π25=100π