Стороны ас, ав, вс треугольника авс равны 3 корня из 2, корень из 14 и 1 соответственно. точка к расположена вне треугольника авс, причём отрезок кс пересекает сторону ав в точке, отличной от в. известно, что
треугольник с вершинами к, а и с подобен исходному. найдите косинус угла акс, если угол кас> 90 градусов.

Треугольники АВС и КАС подобны (дано). Против большей стороны в треугольнике лежит больший угол и этот угол - тупой (дано).
В треугольнике АВС большая сторона АС=3√2≈4,2; средняя АВ=√14≈3,7; а меньшая ВС=1. Значит <АBC - тупой и равен <KAC.
В подобных треугольниках соответственные углы равны, а по условию прямая КС проходит между точками А и В, следовательно, <BAC=<ACK, a <AKC=<ACB.
Найдем косинус угла  АКС, определив косинус углв АСВ в треугольнике АВС по теореме косинусов:
Cos(AСВ)=(BC²+AC²-AB²)/(2*BC*AC).
Cos(AСВ)=(1+18-14)/(6√2)=5/6√5=5√2/12≈0,589.     <BCA≈54°.
ответ: Cos(AKC)=5√2/12≈0,589.