Доказать, что окружность, описанная около треугольника, равна окружности, проходящей через две его вершины и ортоцентр.

Видимо надо доказать равенство радиусов. Пусть окружность проходит через ортоцентр О и сторону АВ. Сравним углы АСВ и АОВ. Легко видеть, что (поскольку АО препендикулярно СВ, а ВО перпендикулярно АС), что сумма этих углов равна 180 градусов. Поэтому синусы этих уголов равны.

Но из теоремы синусов 2*R*sin(угол ACB) = АВ = 2*R1*sin(угол АОВ); R = R1; чтд.