Докажите что если какую либо точку внутри параллелограма соединить со всеми его вершинами то сумма площадей двух из полученных треугольников не имеющих общих сторон равна сумме площадей двух оставшихся треугольников
Первый Пусть M — точка внутри параллелограмма ABCD, P и Q — её проекции на прямые BC и AD. Тогда S(MBC) + S(AMD) = BC . MP + AD . MQ = = AD . (MP + MQ) = AD . PQ, причём PQ — высота параллелограмма ABCD. Поэтому найденная сумма равна половине площади параллелограмма. Второй Через точку M, взятую внутри параллелограмма ABCD, проведём прямые, параллельные сторонам параллелограмма. Эти прямые разбивают параллелограмм на четыре меньших параллеллограмма. Диагонали AM, BM, CM и DM разбивают каждый из этих четырёх параллелограммов на два равных треугольника. Отсюда следует утверждение задачи.
Пусть M — точка внутри параллелограмма ABCD, P и Q — её проекции на прямые BC и AD. Тогда
S(MBC) + S(AMD) = BC . MP + AD . MQ =
= AD . (MP + MQ) = AD . PQ,
причём PQ — высота параллелограмма ABCD. Поэтому найденная сумма равна половине площади параллелограмма.
Второй
Через точку M, взятую внутри параллелограмма ABCD, проведём прямые, параллельные сторонам параллелограмма. Эти прямые разбивают параллелограмм на четыре меньших параллеллограмма. Диагонали AM, BM, CM и DM разбивают каждый из этих четырёх параллелограммов на два равных треугольника. Отсюда следует утверждение задачи.