242. На сторонах AB и ВС треугольника АВС отметили соответственно точки D и E так, что ZEAC = ZDCA. Отрезки AE и CD пересекают-
ся в точке F, DF = EF. Докажите, что ДАВС равнобедренный.

∠1 = ∠2, значит ΔAFC равнобедренный, AF = FC.

Рассмотрим ΔADF и ΔCEF:

DF = FE по условию,

AF = FC как доказано выше,

углы при вершине F равны как вертикальные, значит

ΔADF = ΔCEF по двум сторонам и углу между ними.

Значит ∠3 = ∠4.

∠ВАС = ∠3 + ∠1

∠BCA = ∠4 + ∠2,

так как ∠3 = ∠4, а ∠1 = ∠2, то и

∠ВАС = ∠ВСА, следовательно

ΔАВС равнобедренный с основанием АС.

Объяснение: