Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 10 см и образует с плоскостью основания угол 60 градусов. Найдите объем параллелепипеда, если разность сторон основания равна 1.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АДД1, у которого угол Д прямой, а угол А = 600, тогда угол Д1 = 180 – 90 – 60 = 300.

Катет АД лежит против угла 300, а значит равен половине гипотенузы АД1. АД = АД1 / 2 = 10 / 2 = 5 см.

Из этого же треугольника определим катет ДД1, который есть высота параллелепипеда.

SinA = ДД1 / АД1.

ДД1 = АД1 * SinA = 10 * √3 / 2 = 5 * √3.

По условию, площадь основания равна 12 см, АВ * ВД = 12 см, тогда АВ = 12 / ВД.

Пусть длина ВД = Х см, тогда АВ = 12 / Х.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВД ,по теореме Пифагора АД2 = АВ2 + ВД2.

52 = (12 / Х)2 + Х2.

25 = (144 + Х4) / Х2.

Х4 – 25 * Х2 + 144 = 0.

Пусть Х2 = У, тогда:

У2 – 25 * У + 144 = 0.

Решим квадратное уравнение.

D = b2 – 4 * a * c = (-25)2 – 4 * 1 * 144 = 625 - 576 = 49.

У1 = (25 - √49) / (2 * 1) = (25 – 7) / 2 = 18 / 2 = 9.

У2 = (25 + √49) / (2 * 1) = (25 + 7) / 2 = 32 / 2 = 16.

Тогда Х1 = √9 = 3, Х2 = √16 = 4.

Стороны основания равны 3 и 4 см.

Определим периметр основания Р = 2 * (3 + 4) = 14 см.

Тогда площадь боковой поверхности равна:

Sбок = Р * ДД1 = 14 * 5 * √3 = 70 * √3 см2.

ответ: Sбок = 70 * √3 см2.