Докажите, что если в треугольниках равны высоты, то отношение площадей этих треугольников равно отношению их сторон, к которым проведены эти высоты.

Отношение площадей треугольников с равными элементами

Теорема

Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся, как основания.

Если основания двух треугольников равны, то их площади относятся, как высоты, проведенные к этим основаниям.

Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то их площади относятся, как произведения сторон, заключающих равные углы.

Докажем первый пункт теоремы.

Рассмотрим треугольники △ABC△ABC и △A1B1C1△A1B1C1 в которых высоты BHBH и B1H1B1H1 равны.

Тогда SABCSA1B1C1=12BH⋅AC12B1H1⋅A1C1=ACA1C1