Точки D и E - середины ребер AC и BC правильной призмы ABCA1B1C1 (рис. 1.17). Плоскость, проходящая через прямую DE и образует с плоскостью ABC угол 30 °, пересекает ребро CC1 в точке F. Найдите площадь образованного сечения призмы, если сторона ее основания равна 12 см.
Рассмотрим параллелограмм DAEF. Так как точки D и E являются серединами ребер AC и BC соответственно, то DE || AB. Значит, угол DAEF равен углу ABC, который по условию задачи равен 30°.
Поэтому параллелограмм DAEF является равнобедренным треугольником, в котором углы EDF и EFD равны по 75°, а угол DEF равен 30°.
Обозначим сторону параллелограмма DAEF как x, тогда сторона DE равна x/2. Зная, что сторона основания призмы равна 12 см, получаем AB = 12 см.
Раз угол треугольника DEF равен 30°, а сторона DE равна x/2, то мы можем применить формулу площади треугольника S = (1/2) * a * b * sin(C), где a и b - стороны треугольника, а C - угол между этими сторонами.
Подставим известные значения в формулу:
S = (1/2) * (x/2) * (x/2) * sin(30°) = (1/2) * (x^2/4) * 0.5 = (x^2/8) * 0.5 = x^2/16
Теперь нам нужно выразить сторону x через сторону основания призмы AB. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника ADE, где AD = AE = AB/2, DE = x/2:
(AB/2)^2 + (x/2)^2 = AD^2
(12/2)^2 + (x/2)^2 = (AB/2)^2
36 + x^2/4 = 36/4
x^2/4 = 9
x^2=36
x=6
Подставляем значение x в формулу для площади:
S = (6^2/16) = 36/16 = 2.25
Образованное сечение призмы имеет площадь 2.25 см^2.