В треугольник вписана окружность радиуса 12. Одна из его сторон делится точкой касания на отрезки 18 и 24. Найти площадь треугольника
Объяснение:
ΔАВС, К,М, Р-точки касания сторон соответственно АВ, ВС, АС. Пусть АК=18, КВ=24.
По свойству отрезков касательных ВМ=24, АР=18.
Пусть СР=СМ=х, тогда
АВ=42 , ВС=24+х , АС=18+х.
Выразим площадь по формуле Герона и по формуле S=1/2 Р*r.
1)По формуле Герона: S=√[p•(p-a)(p-b)(p-c)] ,
p=(a+b+c):2=(42+18+х+24+х):2=42+х.
S=√(( 42+х)*х*18*24)=√(144*3х*(42+х) )
2) S=1/2(2*(42+х) *12=12(42+х).
Приравниваем площади :
√(144*3х*(42+х) )=12(42+х),
144*3х*(42+х) =144(42+х)²
3х*(42+х)-(42+х)²=0 ,
(42+х)(3х-42-х)=0,
(42+х)(2х-42)=0 ⇒х= -42 не подходит по смыслу задачи , х=21
Подставляем х=21 в любую формулу
При х=21 имеем : S=12(42+х)=12(42+21)=756
ответ. 756 ед²
В треугольник вписана окружность радиуса 12. Одна из его сторон делится точкой касания на отрезки 18 и 24. Найти площадь треугольника
Объяснение:
ΔАВС, К,М, Р-точки касания сторон соответственно АВ, ВС, АС. Пусть АК=18, КВ=24.
По свойству отрезков касательных ВМ=24, АР=18.
Пусть СР=СМ=х, тогда
АВ=42 , ВС=24+х , АС=18+х.
Выразим площадь по формуле Герона и по формуле S=1/2 Р*r.
1)По формуле Герона: S=√[p•(p-a)(p-b)(p-c)] ,
p=(a+b+c):2=(42+18+х+24+х):2=42+х.
S=√(( 42+х)*х*18*24)=√(144*3х*(42+х) )
2) S=1/2(2*(42+х) *12=12(42+х).
Приравниваем площади :
√(144*3х*(42+х) )=12(42+х),
144*3х*(42+х) =144(42+х)²
3х*(42+х)-(42+х)²=0 ,
(42+х)(3х-42-х)=0,
(42+х)(2х-42)=0 ⇒х= -42 не подходит по смыслу задачи , х=21
Подставляем х=21 в любую формулу
При х=21 имеем : S=12(42+х)=12(42+21)=756
ответ. 756 ед²