Диагонали равносторонней трапеции перпендикулярны, а средняя линия равна 10 см. Найдите площадь четырехугольника (см2), вершинами которого являются середины сторон трапеции.
Можно заметить, что высота трапеции равна средней линии, т.е. 10.
Площадь трапеции равна произведению высоты на среднюю линию, т.е. равна 100.
Площадь искомой фигуры равна половине площади трапеции, стало быть, равна 50 см2.
Теперь по пунктам: 1)Пусть АВСД трапеция. О - точка пересечения лиагоналей. М-середина меньшей диагонали , К - большей. Треугольники АОД и ВОС -прямоугольные равнобедренные. Их высоты равны половинам оснований. Сумма этих высот -высота трапеции. Значит высота равна средней линии.
2) Пусть средняя линия РЕ. Рассмотрим треугольник МЕД. Площадь этого треугольник равна четверти площади ВСД (т.к. МЕ его средняя линия). Также и площадь РАК четверть площади АВД. Их сумма четверть площади трапеции. Также и сумма площадей ВРМ и КЕД.
Сумма площадей всех перечисленных треугольников = половина площади трапеции. Но площадь искомой фигуры - это площадь трапеции без площадей этих четырех треугольников.
Диагональ делит выпуклый четырехугольник на два треугольника с общим основанием. Средние линии этих треугольников параллельны и равны половине общего основания. Следовательно середины сторон выпуклого четырехугольника являются вершинами параллелограмма (Вариньона).
Стороны параллелограмма Вариньона равны половинам диагоналей четырехугольника. Угол параллелограмма Вариньона равен углу между диагоналями четырехугольника.
Диагонали равнобедренной трапеции равны. Искомая фигура - параллелограмм с прямым углом и равными сторонами - квадрат. Диагональ этого квадрата - средняя линия трапеции, 10 см.
50 см2.
Объяснение: Извини , без рисунка.
Можно заметить, что высота трапеции равна средней линии, т.е. 10.
Площадь трапеции равна произведению высоты на среднюю линию, т.е. равна 100.
Площадь искомой фигуры равна половине площади трапеции, стало быть, равна 50 см2.
Теперь по пунктам: 1)Пусть АВСД трапеция. О - точка пересечения лиагоналей. М-середина меньшей диагонали , К - большей. Треугольники АОД и ВОС -прямоугольные равнобедренные. Их высоты равны половинам оснований. Сумма этих высот -высота трапеции. Значит высота равна средней линии.
2) Пусть средняя линия РЕ. Рассмотрим треугольник МЕД. Площадь этого треугольник равна четверти площади ВСД (т.к. МЕ его средняя линия). Также и площадь РАК четверть площади АВД. Их сумма четверть площади трапеции. Также и сумма площадей ВРМ и КЕД.
Сумма площадей всех перечисленных треугольников = половина площади трапеции. Но площадь искомой фигуры - это площадь трапеции без площадей этих четырех треугольников.
Диагональ делит выпуклый четырехугольник на два треугольника с общим основанием. Средние линии этих треугольников параллельны и равны половине общего основания. Следовательно середины сторон выпуклого четырехугольника являются вершинами параллелограмма (Вариньона).
Стороны параллелограмма Вариньона равны половинам диагоналей четырехугольника. Угол параллелограмма Вариньона равен углу между диагоналями четырехугольника.
Диагонали равнобедренной трапеции равны. Искомая фигура - параллелограмм с прямым углом и равными сторонами - квадрат. Диагональ этого квадрата - средняя линия трапеции, 10 см.
Площадь квадрата = 1/2 d^2 =100/2 =50 (см^2)