Отрезки AB и CD пересекаются в точке O, причём OA=OB, OC=OD. Докажите, что АС||BD.

Угол AOC = углу BOD (вертикальные); OA = OB; OC = OD ⇒ треугольник AOC = треугольнику BOD (по углу и двум сторонам) ⇒ угол ACO = углу BDO; угол OAC = углу OBD -- накрест лежащие.

По Теореме о накрест лежащих углах при параллельных прямых, прямая AC параллельна прямой BD, ч.т.д.