1. построить параллелепипед abcda1b1c1d1 и найти пары:
1) параллельные прямые к ad;
2) скрещивающиеся прямые к ав.
2. точка м лежит на середине ребра ad тетраэдра dabc. построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку м параллельно плоскости bdc.
3. точка мфплоскости параллелограмма abcd. доказать, что cdi|abm.
4. даны параллелограмм abcd и трапеция авек с основанием ек, не лежащие в одной плоскости. докажите, что ad-ek.
5. дан параллелепипед abcda1b1c1d1. точки k,l,m и n середины сторон ad, bc, b1c1 и a1d1 соответственно. докажите плоскость klmnijabb1a1.
- Нарисуйте основание ABCD параллелепипеда, где каждая сторона равна 3 единицам.
- Используя вершины B, B1, C и C1, нарисуйте ребро, которое будет параллельно ребру AD. Обозначьте точки скрещения этого ребра с ребрами AD и A1D1 как E и E1 соответственно.
- Используя вершины A, A1, D и D1, нарисуйте ребро, которое будет скрещиваться с ребром AD. Обозначьте точки скрещения этого ребра с ребрами AD и A1D1 как F и F1 соответственно.
2. Построение сечения параллелепипеда:
- Найдите середину ребра AD и обозначьте ее как M.
- Нарисуйте плоскость, проходящую через точку M и параллельную плоскости BDC. Обозначьте точку пересечения этой плоскости с ребром BC как P.
3. Доказательство, что точка M лежит в плоскости параллелограмма ABCD:
- Найдите середину ребра BC и обозначьте ее как N.
- Постройте отрезок MC.
- Докажите, что треугольники BCD и AMC подобны и соответствующие стороны параллельны.
- Следовательно, треугольники CDI и ABM также подобны, а значит, точка M лежит в плоскости ABCD.
4. Доказательство, что AD || EK:
- Докажите, что параллелограмм ABCD и трапеция AVEK лежат в параллельных плоскостях.
- Постройте отрезок AD и отрезок EK.
- Докажите, что треугольники ABC и EKV подобны и соответствующие стороны параллельны.
- Следовательно, AD || EK.
5. Доказательство плоскости KLMNIJABB1A1:
- Постройте отрезки KL, LM, MN, NI, IJ, JA, AB, BB1, и B1A1, соединяя соответствующие середины сторон.
- Докажите, что KLMN, KNIJ и JAB1A1 являются параллелограммами.
- Докажите, что KLMN и KNIJ лежат в одной плоскости, так как их стороны параллельны.
- Докажите, что JAB1A1 также лежит в этой плоскости, так как она параллельна основанию KNIJ и имеет общую сторону JA.
Таким образом, плоскость KLMNIJABB1A1 доказана.