Два автомобиля двигаются со скоростями v=54 км/ч и u=72 км/ч по двум по взаимно перпендикулярным прямолинейным дорогам. определите минимальное расстояние между автомобилями, если в некоторый момент они находились на одинаковых расстояниях l=450 м от перекрёстка. ответ выразить в м, округлив до десятых.
V=54 км/ч=54000 м/3600c=15м/с
U=72 км/ч=72000 м/3600c=20м/с
квадрат расстояния между автомобилями вычисляем по формуле Пифагора
d²=(L-Vt)²+(L-Ut)²
найдем производную от d²
(d²)'=2(L-Vt)(-V)+2(L-Ut)(-U)
минимальное d² (и соответственно минимальное d) будет в момент времени t, когда (d²)'=0
2(L-Vt)(-V)+2(L-Ut)(-U)=0
V(L-Vt)+U(L-Ut)=0
VL-V²t+UL-U²t=0
L(V+U)=t(V²+U²)
t=450м *(15 м/c+20 м/c)/(15² м²/с²+20² м²/с²)=450 м/(225+400)м/с=25,2с
подставляем это значение t в формулу для d²
d²=(450м-15м/с * 25,2с)²+(450м-20м/с * 25,2с)²=8100 м²
d=90,0м
U=72 км/ч=20 м/с
расстояние между машинами при сближении
d^2=(L-v*t)^2+(L-u*t)^2
минимум у d^2 будет при нулевой производной по времени
(d^2)`=2v(L-v*t)+2u(L-u*t)=0
t=L*(u+v)/(v^2+u^2)=450*(15+20)/(15^2+20^2) сек = 25,2 сек
d^2=(L-v*t)^2+(L-u*t)^2=(450-15* 25,2)^2+(450-20* 25,2)^2=8100
d = корень( 8100)= 90 м