На какой высоте надо повесить искусственный спутник земли, чтобы его период обращения был 24 часа?

Дано: Rз = 6,371·10⁶м - радиус Земли

           g₀ = 9.81 м/с² - ускорение свободного падения на поверхности Земли

           Тз = 24ч = 24·3600 = 8,64·10⁴ с - период обращения Земли вокруг своей оси

Найти: Н - высоту спутника над поверхностью Земли, при которой он "привязан" к одной точке Земли.



Решение:

1) Ускорение свободного падения на высоте Н можно вычислить по ускорению свободного падения на поверхности Земли:

g = g₀·Rз²/(Rз +Н)²

2) Скорость спутника на высоте Н над поверхностью Земли c одной стороны равна

v = √(g·(R+H))= √(g₀·Rз²·(R+H)/(Rз +Н)²)) = Rз√(g₀/(Rз +Н))

а с другой стороны, чтобы спутник "завис", она должна быть равна скорости движения точки на этой орбите, жёстко связанной с Землёй, т.е.

v = 2π/T ·(Rз +Н)

Приравняем скорости:

2π/T ·(Rз +Н) = Rз√(g₀/(Rз +Н))

4π²·(Rз +Н)²/Т² = Rз²·g₀/(Rз +Н)

(Rз +Н)³ = Rз²·Т²·g₀/(4π²)

Rз +Н = ∛(Rз²·Т²·g₀/(4π²)) =

         = ∛(6,371²·8,64²·10⁸·10¹²·9,81/(4π²)) =

        =4,2226·10⁷м = 42226км

Н = 42226 * 6371 = 35855км

или Н/Rз = 35855/6371 ≈ 5.6



ответ: Cпутник должен находиться на высоте Н =35855км над поверхностью Земли, что составляет примерно 5,6Rз