Груз 1 поднимается с лебёдки 2. Закон движения груза имеет вид: S = 2 + 8t2 (см). Определите угловую скорость барабана в момент времени t = 3 c, если его радиус R = 23 см. ответ укажите в рад/с с точностью до десятых.

Добрый день! Рассмотрим задачу о грузе, который поднимается с помощью лебедки.

Закон движения груза задан уравнением S = 2 + 8t^2, где S - путь, пройденный грузом, в сантиметрах, t - время, прошедшее с начала движения груза, в секундах.

Для нахождения угловой скорости барабана лебедки, воспользуемся формулой для линейной скорости:

V = dS/dt.

Первоначально найдем производную S по времени:

dS/dt = d(2 + 8t^2)/dt = 0 + 16t.

Теперь воспользуемся формулой для линейной скорости:

V = dS/dt = 16t.

Заметим, что при вращении барабана, каждая точка на его окружности проходит одинаковый угловой путь за одно и то же время. Угловой путь выражается через длину дуги окружности и радиус:

Δφ = ΔS/R.

Таким образом, угловая скорость выражается как:

ω = Δφ/Δt = (ΔS/R)/(Δt) = V/R.

Теперь найдем угловую скорость в нужный момент времени.
В нашей задаче угловая скорость будет равна:

ω = (16t)/(R).

Подставим конкретное значение времени t = 3 секунды и радиуса R = 23 см:

ω = (16 * 3)/(23) = 48/23 ≈ 2.087 рад/с.

Ответ: Угловая скорость барабана лебедки в момент времени t = 3 секунды равна приближенно 2.087 рад/с (с точностью до десятых).