Состояние самолета характеризуется тремя случайными величинами: высотой H, модулем скорости V и углом θ, определяющим направление полета. Высота самолета распределена с равномерной плотностью на участке h1, h2; скорость - по нормальному закону с математическим ожиданием ν0 и средним квадратическим отклонением σv; угол θ - с равномерной плотностью на участке 0, π. Величины H, V, θ независимы. Найдите энтропию объединенной системы.
Формула для энтропии S объединенной системы:
S = S_H + S_V + S_θ,
где S_H, S_V, S_θ - энтропии каждого отдельного состояния.
1. Энтропия высоты H: S_H = log₂(N_H),
где N_H - количество различных состояний для высоты H.
Так как высота распределена с равномерной плотностью на участке h1, h2, количество различных состояний можно определить как разность между максимальной и минимальной высотой, деленную на шаг:
N_H = (h2 - h1) / ΔH,
где ΔH - шаг изменения высоты.
2. Энтропия скорости V: S_V = log₂(N_V),
где N_V - количество различных состояний для скорости V.
Так как скорость распределена по нормальному закону с математическим ожиданием ν0 и средним квадратическим отклонением σv, то можно использовать формулу для нормального распределения:
N_V = (V_max - V_min) / ΔV,
где V_max и V_min - максимальное и минимальное значения скорости V, а ΔV - шаг изменения скорости.
3. Энтропия угла θ: S_θ = log₂(N_θ),
где N_θ - количество различных состояний для угла θ.
Так как угол θ распределен с равномерной плотностью на участке 0, π, количество различных состояний можно определить как разность между максимальным и минимальным углом, деленную на шаг:
N_θ = (π - 0) / Δθ,
где Δθ - шаг изменения угла θ.
4. Теперь объединяем все составляющие:
S = S_H + S_V + S_θ
= log₂(N_H) + log₂(N_V) + log₂(N_θ)
= log₂((h2 - h1) / ΔH) + log₂((V_max - V_min) / ΔV) + log₂((π - 0) / Δθ).
Таким образом, найденная формула даёт энтропию объединенной системы с учетом всех трех случайных величин: высоты H, скорости V и угла θ.