1. общая полезность набора двух благ 1. общая полезность набора двух благ – молока и хлеба (в ютилях) – для потребителя задается функцией tu = 36 m + 18x – 2m2-x2, где х – количество хлеба (кг) и м – количество молока (л). еженедельный доход, выделяемый потребителем на покупку двух благ, i = 105. цена молока – 10 руб/л, батона хлеба – 5 руб/кг. определите: 1) функцию предельной полезности каждого блага; 2) количество благ х и м, приносящее потребителю максимум полезности; 3) количество благ х и м, приносящее потребителю максимум полезности при заданных ограничениях по ценам и доходу. сравните с ответами на второй вопрос.
Маргинальная полезность молока (MUm) = ∂tu/∂m = 36 - 4m
Маргинальная полезность хлеба (MUx) = ∂tu/∂x = 18 - 2x
2) Для нахождения количества благ х и м, приносящего потребителю максимум полезности, необходимо приравнять маргинальные полезности каждого блага к их ценам и решить систему уравнений:
MUm = Pm
MUx = Px
где Pm и Px - цены молока и хлеба соответственно.
В данном случае, Pm = 10 руб/л и Px = 5 руб/кг.
Решим систему уравнений:
36 - 4m = 10
18 - 2x = 5
Получим:
-4m = -26
-2x = -13
Таким образом, получаем:
m = 6.5 л
x = 6.5 кг
3) Для определения количества благ х и м, приносящего потребителю максимум полезности при заданных ограничениях по ценам и доходу, необходимо решить задачу оптимизации.
Для этого необходимо задать функцию полезности, ограничения и использовать метод Лагранжа.
Функция полезности: tu = 36m + 18x - 2m^2 - x^2
Ограничение по доходу: i = 105
Ограничения по ценам: Px * x + Pm * m ≤ i
Получаем ограничение: 5x + 10m ≤ 105
Запишем функцию Лагранжа:
L = 36m + 18x - 2m^2 - x^2 - λ(5x + 10m - 105)
Дифференцируем L по всем переменным и приравниваем к нулю:
∂L/∂m = 36 - 4m - 10λ = 0
∂L/∂x = 18 - 2x - 5λ = 0
∂L/∂λ = 5x + 10m - 105 = 0
Решаем полученную систему уравнений и находим значения переменных x и m:
36 - 4m - 10λ = 0
18 - 2x - 5λ = 0
5x + 10m - 105 = 0
Решив систему, мы получим:
m = 4 л
x = 7 кг
Сравнивая с ответом на второй вопрос, заметим, что он отличается от ответа на третий вопрос. Это говорит о том, что при заданных ограничениях по ценам и доходу, потребителю будет выгоднее приобрести 7 кг хлеба и 4 л молока, чтобы достичь максимальной полезности, вместо 6,5 кг хлеба и 6,5 л молока, которые дадут максимальную полезность без учета ограничений по ценам и доходу.