Прочитайте. жи - ши ча - ща чу — щу чт, чн, чк, щн, нч

Глагол выспИшься (н. ф.  выспаться)

1. Глагол ВЫспатьСЯ образован приставочно-суффиксальным от глагола СПАТЬ.

2. У глагола СПАТЬ ударные личные окончания (спИшь, спИт, спИм, спИте, спЯТ).
В этом случае, по правилу, спряжение глагола определяется по гласной в ударном окончании. Судя по гласной И в ударных личных окончаниях глагола СПАТЬ, он относится ко второму спряжению.  

3. Как известно, приставки и постфикс -СЯ не могут изменить спряжение глагола, оно останется таким же, как у исходного. 
А значит (см. выше) и глагол ВЫСПАТЬСЯ относится ко второму спряжению,  поэтому выспИшься.