Обсудим кто из детей прав? «Егор. Мужчина не должен заниматься женским делом. Он должен выполнять только самую трудную работу в доме: строить, ремонтировать, таскать тяжести.

В данном случае можно отчасти согласиться и с Егором и Дашей. Если в семье мелкие обязанности обсуждены и распределены, то каждый должен то, что ему положено.
Переложить на другого члена семьи свои обязанности можно, если ты не можешь их исполнить в силу каких-либо причин от тебя не зависящих (заболел, уехал на соревнования, в лагерь и.т.д.).
Большие домашние работы («генеральная уборка», ремонт, весенние посадки в огороде), конечно должны производится всеми членами семьи, каждый должен вносить свой посильный вклад в общий труд.