Пусть медианы MB и PA треугольника MNP пересекаются в точке O
Найдем середины C и D отрезков ОР и OM и рассмотрим четырехугольник ABCD. Его стороны AB и DC параллельны и равны как средние линии треугольников MNP и MOP с общей стороной MP. Поэтому четырехугольник ABCD — параллелограмм.
Поскольку диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, то OD = OB. Учитывая, что D — середина отрезка OM, получаем MD = OD = OB. Значит, МО:ОБ = 2:1. Так же РО:ОА= 2:1.
Остается доказать, что третья медиана NE проходит через точку O. Пусть медианы NE и MB пересекаются в точке O1 (рис. 136). Тогда по доказанному MO1:'O1B = 2- 1. Учитывая, что и МО ': ОВ = 2:1, заключаем, что точки O1 и O делят отрезок MB в одном и том же отношении. А это значит, что точка O1 совпадает с точкой O. Значит, медиана NE проходит через точку O пересечения медиан MB и PA.
Найдем середины C и D отрезков ОР и OM и рассмотрим четырехугольник ABCD. Его стороны AB и DC параллельны и равны как средние линии треугольников MNP и MOP с общей стороной MP. Поэтому четырехугольник ABCD — параллелограмм.
Поскольку диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, то OD = OB. Учитывая, что D — середина отрезка OM, получаем MD = OD = OB. Значит, МО:ОБ = 2:1. Так же РО:ОА= 2:1.
Остается доказать, что третья медиана NE проходит через точку O. Пусть медианы NE и MB пересекаются в точке O1 (рис. 136). Тогда по доказанному MO1:'O1B = 2- 1. Учитывая, что и МО ': ОВ = 2:1, заключаем, что точки O1 и O делят отрезок MB в одном и том же отношении. А это значит, что точка O1 совпадает с точкой O. Значит, медиана NE проходит через точку O пересечения медиан MB и PA.