Как должна проходить магистраль, чтобы расстояние от неё до трёх данных населённых пунктов было одинаковым? Укажите положение магистрали, при котором

решение к задаче приложено к ответу

Обозначим через А, В и С три данных населенных пункта. Если искомая магистраль может проходить так, чтобы все три точки лежали по одну сторону относительно магистрали (в том числе и на ней самой) и к тому же на рав­ном расстоянии от нее, то точки А, В и С лежат на одной прямой, параллельной магистрали. В этом случае расстоя­ние минимально, когда магистраль проходит через эти точки.

В противном случае две из данных точек, скажем А и В, должны лежать по одну сторону от искомой магистрали, а третья — по другую (рис. 23). Так как магистраль равно­удалена от точек А и С, то она проходит через середину отрезка АС (см. решение задачи 5), а так как она равно­удалена от точек В и С, то проходит и через середину отрез­ка ВС. Таким образом, мы доказали, что искомая магист­раль проходит по одной из трех средних линий треугольни­ка ABC.

Среди возможных расположений магистрали наимень­шее расстояние до точек Л, В и С, равное половине наи­меньшей высоты треугольника ABC, достигается, когда магистраль параллельна наибольшей стороне этого тре­угольника (точнее, какой-нибудь из наибольших сторон, если их несколько), поскольку наименьшая высота в тре­угольнике соответствует наибольшей стороне — ведь их произведение есть константа, равная удвоенной площади треугольника.