Есть ли какая-то связь слова частушка со словами часто, частить?

В   словах:   частушка,   часто,   частить —  один   корень -част-. Частушка получила своё название за то, что пелась ритмично, быстро, исполнитель произносил слова очень часто. Поэтому это не только однокоренные слова, но и слова, связанные по смыслу.