Мышка грызет куб сыра с ребром 3, разбитый на 27 единичных кубов. Когда мышка съедает какой-либо кубик, она переходит к следующему кубику, имеющему общую грань

Решение.
Раскрасим все единичные кубики, кроме центрального, в "шахматном" порядке. Так как мышка съедает белые и черные кубики по очереди, то число белых кубиков не может превышать числа черных более, чем на один. Но у нас получилось 14 белых кубиков и 12 черных, следовательно, мышка съесть весь куб, кроме центрального не может. Ответ: Мышка съесть весь куб, кроме центрального кубика, не может

Каждый из 26 единичных кубиков, отличных от центрального, будем считать либо белым, либо черным в шахматном порядке: 12 кубиков, имеющих ровно по 2 грани на поверхности большого куба, назовем белыми, а остальные 14 – черными. Заметим, что в любой паре таких кубиков, имеющих общую грань, один кубик будет белым, а другой – черным. Указанные 26 кубиков мышка съесть не сможет, так как в противном случае их можно было бы разбить на 13 пар последовательно съеденных кубиков, т.е. в каждой паре присутствовал бы 1 белый и 1 черный кубик, а тогда белых и черных кубиков было бы поровну.

Ответ. Не может.