В треугольник с углами 30 °, 70 ° i 80 ° вписан круг. Найдите углы треугольника, вершины которого являются точками соприкосновения вписанной окружности

Ответ:

den2424denoztwre

17.04.2019 01:10

Круг вписан в ΔАВС. ∟A = 30 °, ∟B = 70 °, ZC = 80 °. N, Е, Р - точки соприкосновения.
Найти: углы AN РЭ.
Решение:
Центр окружности, вписанной в треугольник, находится в точке пересечения биссектрис.
Итак, АО - биссектриса ∟BAC, тогда ∟NAO = ∟PAO = ∟BAC: 2 = 30 °: 2 = 15 °.
Аналогично ОВ - биссектриса ∟NBE, тогда ∟NBO = ∟OBE = ∟ABC: 2 = 70 °: 2 = 35 °
и ОС - биссектриса ∟ECP, тогда ∟PCO = ∟ECO = ∟PCE: 2 = 80 °: 2 = 40 °.
По условию О - центр вписанной окружности, тогда по свойству касательных к окружности,
имеем: ON ┴ АВ, ОЕ ┴ ВС, ОР ┴ АС.
ON - ОЕ = ОР - радиусы вписанной окружности.
Рассмотрим ΔANO i ΔAPO - прямоугольные ∟ANO = ∟APO = 90 °, ON = OP,
АО - общая сторона. Тогда по признаку piвностi прямоугольных треугольников имеем:
ΔANO = ΔАРО.
Отсюда ∟NOA = ∟POA = 90 ° - 15 ° = 75 °; ∟NOP = ∟NOA + ∟POA = 75 ° + 75 ° = 150 °.
Рассмотрим ΔNOP - равнобедренный (NO = ОР).
По свойству углов piвнобедреного треугольника имеем:
∟ONP = ∟OPN = (180 ° - 150 °): 2 = 15 °.
Аналогично ∟NOE = 110 °, ∟EOP = 100 °.
∟ENO = ∟OEN = (180 ° - 110 °): 2 = 35 °.
∟ENO = ∟OEN = (180 ° - 110 °): 2 = 35 °.
∟OEP = ∟OPE = (180 ° - 100 °): 2 = 40 °.
∟ENP = ∟PNO + ∟ONE, ∟ENP = 15 ° + 35 ° = 50 °.
∟NPE = ∟NPO + ∟OPE, ∟NPE = 15 ° + 40 ° = 55 °.
∟NEP = ∟NEO + ∟OEP, ∟NEO = 35 ° + 40 ° = 75 °.
Biдповидь: 50 °, 55 °, 75 °.

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Другие предметы