На боковых сторонах АВ i ВС равнобедренного треугольника ABC обозначили соответственно точки М и К так, что ВМ = ВК. Отрезки АК i CM пересекаются

Дано:
∆АВС - рівнобедрений. АВ = ВС. М є АВ; К є ВС. ВМ = ВК. АК ∩ СМ = О.
1. Довести: ∆АОС - рівнобедрений.
Доведения:
За умовою ∆АВС - рівнобедрений.
За властивістю кутів при ocнові piвнобедреного трикутника маємо: ∟ВАС = ∟BCA.
За умовою: АВ = ВС i ВМ = ВК, тоді AM = КС.
Розглянемо ∆АМС i ∆СКА:
1) ∟MAC = ∟KCA;
2) AC - спільна сторона;
3) AM = КС.
За I ознакою piвностi трикутників маємо: ∆КАС = ∆МСА.
Звідси ∆КАС = ∆МСА, АК = СМ. Тому, ∆АОС - рівнобедрений.
Доведено.
2. Довести: ВО - серединний перпендикуляр відрізка АС.
Доведения:
∆АОС - рівнобедрений. АО = ОС; ∟OAP = ∟ОРА. ОК = ОМ.
Розглянемо ∆МВО і ∆КВО:
1) МО = OK;
2) MB = BK;
3) BO - спільна сторона.
За III ознакою piвностi трикутників маємо: ∆ВОМ = ∆ВОК.
Звідси ∟MBO = ∟KBO.
Тому ВО - бісектриса. За властивістю рівно6едреного трикутника маємо:
ВО - висота, медіана. Отже ОВ - серединний перпендикуляр.