На столі розташовано 7 зубчастих коліс так, що перше зчеплене з другим, друге — з третім і т. д., а сьоме зчеплене з першим. Чи можуть усі колеса обертатись одночасно?

Ні, не можуть. Щоб усі колеса одночасно оберталися,   потрібно,   щоб  їхня  кількість була парною.
На рисунку показано, що якщо колеса 1, З, 5 обертаються за годинниковою стрілкою, то колеса 2, 4, 6 обертаються проти годинникової стрілки. Тому колесо 7 має обертатися за годинниковою стрілкою. З іншого боку, якщо колесо 1 обертається за годинниковою стрілкою, то колесо 7 має обертатися проти годинникової стрілки. Отже, така система коліс одночасно не обертатиметься.