Решение.
Решим задачу путем дополнительного построения вокруг заданной геометрической фигуры (треугольника), чтобы использовать свойства новой образованной фигуры (прямоугольника) для решения этой задачи по геометрии
Сначала достроим прямоугольный треугольник до прямоугольника.
Прямоугольный треугольник, достроенный до прямоугольника
В результате дополнительного построения катеты прямоугольного треугольника одновременно являются сторонами прямоугольника, а гипотенуза - его диагональю.
Далее учтем следующие свойства треугольника и прямоугольника:
Сумма углов треугольника равна 180 градусам
Диагонали прямоугольника в точке пересечения делятся пополам
Диагонали прямоугольника равны
Величина одного из углов треугольника задана в условии задачи. Поскольку треугольник по условию прямоугольный, то мы можем найти величину третьего угла, зная, что сумма углов треугольника равна 180 градусам.
Поскольку угол CAB = 20°, то угол ABC = 180 - 90 - 20 = 70°
Таким образом, мы нашли градусную меру угла B в треугольнике ABC
Рассмотрим треугольник COA. Он равнобедренный, так как его стороны - это половины диагоналей прямоугольника. Это следует из свойств прямоугольника. Так как диагонали прямоугольника равны, а в точке пересечения они делятся пополам, то половины равных отрезков будут также между собой равны. Поскольку в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то:
∠OCA = ∠OAC = 20º
Рассмотрим треугольник BKC. CK является высотой треугольника ABC, проведенной к гипотенузе. Значит угол BKC - прямой, то есть равен 90 градусам, а сам треугольник BKC - прямоугольный. Поскольку треугольник BKC - прямоугольный, то угол BCK = 180 - 90 - 70 = 20°. (Это следует из того, что сумма углов треугольника 180 градусов, угол BKC - прямой, а величину угла B мы нашли ранее)
Поскольку угол BCA - прямой, то его градусная мера равна 90 градусов и, одновременно, равна сумме градусных мер составляющих его углов: BCK, KCO и OCA.
Величину угла BCK мы только что нашли, она составляет 20 градусов, величину угла OCA мы также нашли ранее и она тоже составляет 20 градусов.
Откуда:
20° + 20° + ∠KCO = 90°
∠KCO = 50°
Ответ: Угол между медианой и биссектрисой заданного прямоугольного треугольника равен 50 градусов.
Решим задачу путем дополнительного построения вокруг заданной геометрической фигуры (треугольника), чтобы использовать свойства новой образованной фигуры (прямоугольника) для решения этой задачи по геометрии
Сначала достроим прямоугольный треугольник до прямоугольника.
Прямоугольный треугольник, достроенный до прямоугольника
В результате дополнительного построения катеты прямоугольного треугольника одновременно являются сторонами прямоугольника, а гипотенуза - его диагональю.
Далее учтем следующие свойства треугольника и прямоугольника:
Сумма углов треугольника равна 180 градусам
Диагонали прямоугольника в точке пересечения делятся пополам
Диагонали прямоугольника равны
Величина одного из углов треугольника задана в условии задачи. Поскольку треугольник по условию прямоугольный, то мы можем найти величину третьего угла, зная, что сумма углов треугольника равна 180 градусам.
Поскольку угол CAB = 20°, то угол ABC = 180 - 90 - 20 = 70°
Таким образом, мы нашли градусную меру угла B в треугольнике ABC
Рассмотрим треугольник COA. Он равнобедренный, так как его стороны - это половины диагоналей прямоугольника. Это следует из свойств прямоугольника. Так как диагонали прямоугольника равны, а в точке пересечения они делятся пополам, то половины равных отрезков будут также между собой равны. Поскольку в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то:
∠OCA = ∠OAC = 20º
Рассмотрим треугольник BKC. CK является высотой треугольника ABC, проведенной к гипотенузе. Значит угол BKC - прямой, то есть равен 90 градусам, а сам треугольник BKC - прямоугольный. Поскольку треугольник BKC - прямоугольный, то угол BCK = 180 - 90 - 70 = 20°. (Это следует из того, что сумма углов треугольника 180 градусов, угол BKC - прямой, а величину угла B мы нашли ранее)
Поскольку угол BCA - прямой, то его градусная мера равна 90 градусов и, одновременно, равна сумме градусных мер составляющих его углов: BCK, KCO и OCA.
Величину угла BCK мы только что нашли, она составляет 20 градусов, величину угла OCA мы также нашли ранее и она тоже составляет 20 градусов.
Откуда:
20° + 20° + ∠KCO = 90°
∠KCO = 50°
Ответ: Угол между медианой и биссектрисой заданного прямоугольного треугольника равен 50 градусов.