В треугольнике ABC медианы CD и BE пересекаются в точке К. Найдите площадь четырехугольника ADKE, если BC = 20 см, AC = 12 см, а угол ACB равен 135 градусам
Решение.
Кроме медиан, указанных в условии, проведем медиану к третьей стороне треугольника.
Треугольник с медианами
Воспользуемся следующими свойствами медианы треугольника:
Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом, и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.
Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.
Таким образом, если площади указанных треугольников равны, то площадь искомого четырехугольника будет равна двум из шести получившихся треугольников, а значит 1/3 площади всего треугольника.
Площадь треугольника найдем по формуле S = ab sin γ
S = 20 *12 * sin 135
Значение синуса 135 градусов найдем по таблице значений тригонометрических функций.
S = 240 * √2 / 2 = 120√2
Откуда площадь искомого четырехугольника равна ( 120√2 ) / 3 = 40√2
Кроме медиан, указанных в условии, проведем медиану к третьей стороне треугольника.
Треугольник с медианами
Воспользуемся следующими свойствами медианы треугольника:
Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом, и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.
Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.
Таким образом, если площади указанных треугольников равны, то площадь искомого четырехугольника будет равна двум из шести получившихся треугольников, а значит 1/3 площади всего треугольника.
Площадь треугольника найдем по формуле S = ab sin γ
S = 20 *12 * sin 135
Значение синуса 135 градусов найдем по таблице значений тригонометрических функций.
S = 240 * √2 / 2 = 120√2
Откуда площадь искомого четырехугольника равна ( 120√2 ) / 3 = 40√2
Ответ: 40√2