Задумали двузначное число, которое делится на 15. Когда к этому числу приписали справа его последнюю цифру, получилось трёхзначное

Задуманное число делится на 3. Полученное трёхзначное число тоже делится на 3. Значит, приписанная цифра делится на 3. Эта цифра делится на 5, поскольку задуманное число делится на 5. Значит, эта цифра равна 0. Выпишем все двузначные числа, которые оканчиваются нулём и делятся на 15:  30, 60, 90.
Проверим их:
300 при делении на 9 даёт остаток 3,
600 при делении на 9 даёт остаток 6,
900 делится на 9 без остатка.
Ответ: 30.