На плоскости отмечено 11 точек. Из любых 3-х точек какие-то 2 соединены отрезком. Докажите, что есть точка, соединенная хотя бы с 5-ью другими.

Решение: Если все точки соединены друг с другом, то каждая соединена с 10-ью другими, что больше, чем с пятью.
Иначе, возьмем 2 точки, не соединенные с отрезками. Будем рассматривать тройки точек, содержащие эти 2 Таких троек 9 (каждая из 9 точек, отличных от этих 2хможет быть рассмотрена в качестве третей точки тройки). В каждой тройке какие-то 2 соединены отрезками. Но это не первые 2 Значит, третья точка в каждой тройке соединена либо с 1-ой, либо со 2-ой. По принципу Дирихле из 9 точек либо с первой, либо со 2-ой соединено не менее 5-ти точек. Ч.Т.Д.