Могут ли числа 1, 2, …, 100 быть членами ровно двенадцати геометрических прогрессий?

Покажем, что 3 разных простых числа не могут входить в одну геометрическую прогрессию. Предположим противное: p₁<p₂<p₃ – простые числа, p₁=aq^k-1, p₂=aq^r-1, p₃=aq^m-1.

Тогда p₂/p₁=q^r-k=q^s, p₃/p₂=q^m-r=qⁿ. Отсюда p₂^s+n=p₁ⁿp₃^s, что невозможно, так как n и s – ненулевые целые числа. Отрицательный ответ на вопрос задачи теперь следует из того факта, что среди чисел от 1 до 100 содержится 25 различных простых чисел, а в одну геометрическую прогрессию могут входить не более двух из них.

Ответ. Не могут.