Существует ли тетраэдр, у которого пары противоположных рёбер равны 12 и 12, 5 и 5, 13 и 13?

Пусть, например, AB=5, AD=12, BD=13. Треугольник BAD – прямоугольный, т.к. AB2+AD2=25+144=169=BD2.
Поэтому DA⊥AB. Аналогично, AD⊥DC, BC⊥AB и BC⊥CD. Значит, AD и BC – общие перпендикуляры скрещивающихся прямых AB и CD, что противоречит единственности общего перпендикуляра скрещивающихся прямых.
Ответ: Не существует.