На окружности имеется 21 точка. Докажите, что среди дуг, имеющих концами эти точки, найдётся не меньше 100 таких, угловая мера

По индукции докажем утверждение для 2n+1 точки и n2 дуг. База n=0 (1 точка и 0 дуг) – очевидна.
Шаг индукции. Пусть имеется 2n+3 точки. Рассмотрим "длинную" (более 120°) дугу AB с концами в этих точках (если таких нет, то "коротких" дуг более чем достаточно). Пусть С – произвольная из оставшихся точек. Тогда по крайней мере одна из дуг AС, BС не превосходит 120°. Итак, имеется не менее 2n+1 "коротких" дуг с концами в точках A и B. Плюс (согласно предположению индукции) n2 "коротких" дуг с концами в других (2n+1)-й точках. Итого, не менее n2+2n+1=(n+1)2 "коротких" дуг.