Решить уравнение sin⁴x+cos⁴x=sin(2x)-1/2​

ответ:

добавим и вычтем слагаемые

\sin^4x+2\sin^2x\cos^2x+\cos^4x-2\sin^2x\cos^2x=\sin2x- \frac{1}{2} \\ (\sin^2x+\cos^2x)^2-\frac{1}{2} \sin^22x=\sin2x-\frac{1}{2} \\ 1-\frac{1}{2} \sin^22x=\sin2x-\frac{1}{2} \\ \sin^22x+2\sin2x-3=0

пусть \sin2x=t(|t| \leq 1), тогда получаем

t^2+2t-3=0

по т. виета:

t1 = -3 - не удовлетворяет условию

t2 = 1

обратная замена

\sin2x=1\\ 2x=\frac{\pi}{2} +2 \pi k,k \in \mathbb{z}|: 2\\ x=\frac{\pi}{4} + \pi k,k \in \mathbb{z}