Могла ли какая-нибудь из этих позиций - короля или парламента - разрешить накопившиеся в стране противоречия и вывести ее из кризиса?

Нет, так как этот конфликт назревал уже давно, усиливалось противостояние между Кромвелем, стоящим во главе армии, и «охвостьем» «Долгого парламента». Нарастающий конфликт завершился в апреле 1653 г. разгоном «охвостья». Депутаты нового парламента в декабре 1653 г. приняли решение о самороспуске и передаче власти Кромвелю. Был принят конституционный документ под названием «Орудие управления», в соответствии с которым Кромвель провозглашался «лордом-протектором (то есть защитником) свободного государства Англии, Шотландии и Ирландии» и получал всю полноту власти. В истории Англии
открывался новый этап, получивший название «период протектората». Он представлял по своей сути военную диктатуру — власть, основанную не на законах, а на военной силе. Диктатура армии вступала в непримиримое противоречие с английскими политическими традициями — представительной формой правления и верховенством права. Это противоречие обусловило недолгов!чность режима протектората.

А если между ними требуется компромисс, то в чем именно?
Я думаю, что компромисса не могло быть по простой причине, что Карл 1 был принципиальный.