18_03_09_Задание № 3:
Решите уравнение 2(x^2+1/x^2)−3(x+1/x)=1
РЕШЕНИЕ: Замена: x+1/x=t. Тогда:
(x+1/x)^2=t^2
x^2+1/x^2+2*x*1/x=t^2
x^2+1/x^2=t^2-2
Получаем уравнение:
2(t^2-2)−3t=1
2t^2-4-3t=1
2t^2-3t-5=0
Сумма 2-5=-3, значит по свойствам коэффициентов корни уравнения -1 и 5/2.
Обратная замена:
1) x+1/x=-1
x^2+x+1=0
D=1^2-4*1*1<0 - нет корней
2) x+1/x=5/2
2x^2-5x+2=0
D=(-5)^2-4*2*2=25-16=9
x=(5+3)/(2*2)=2
x=(5-3)/(2*2)=0.5
ОТВЕТ: 0,5; 2
18_03_09_Задание № 3:
Решите уравнение 2(x^2+1/x^2)−3(x+1/x)=1
РЕШЕНИЕ: Замена: x+1/x=t. Тогда:
(x+1/x)^2=t^2
x^2+1/x^2+2*x*1/x=t^2
x^2+1/x^2=t^2-2
Получаем уравнение:
2(t^2-2)−3t=1
2t^2-4-3t=1
2t^2-3t-5=0
Сумма 2-5=-3, значит по свойствам коэффициентов корни уравнения -1 и 5/2.
Обратная замена:
1) x+1/x=-1
x^2+x+1=0
D=1^2-4*1*1<0 - нет корней
2) x+1/x=5/2
2x^2-5x+2=0
D=(-5)^2-4*2*2=25-16=9
x=(5+3)/(2*2)=2
x=(5-3)/(2*2)=0.5
ОТВЕТ: 0,5; 2